• Matemáticos reconocidos poco conocidos

    Karl Weierstraß
    (1815 - 1897)

    Maestro de Cantor, Runge,  Schwarz  y de toda una generación de matemáticos alemanes, Weierstrass es el responsable de uno de los métodos más efectivos en Cálculo: el método épsilon (nombrado así pues su notación utiliza la letra griega ε). Gracias a este método se pudieron probar varios teoremas fundamentales para el fundamento de la matemática infinitesimal lo que a la postre permitió varios de los desarrollos tecnológicos de la actualidad.

    Nacido en Ostenfelde, Westphalia (ahora parte de Alemania) , en 1828, al establecerse su familia en Paderborn, ingresó al Gimnasio Católico (institución equivalente a la educación media superior) y paso mucho de su tiempo leyendo el Journal of Pure and Applied Mathematics,  que era la revista matemática líder en Europa.  

    Mientras era profesor en el Instituto Industrial de Berlín, Weierstrass desarrollo una de las más grandes ideas matemáticas hasta el momento.  En su “Introducción al Análisis” druante los años 1859-1860, dio al mundo una rigurosa metodología para que los matemáticos trabajaran con la noción de secuencias infinitas o series que alcanzaban un límite. 

    Hasta ese momento, mucho del desarrollo del cálculo Newtoniano se basaba en ideas, nociones que se sabían verdad pero no se habían demostrado rigurosamente. El concepto de “límite infinito” aplicado a variables fijas, como en la expresión “n tiende a infinito” no se sabía realmente su significado formal.  El método épsilon resolvió esto.

    Weierstrass razonó: En lugar de que el límite estuviera definido para n como el proceso de alcanzar el infinito, por qué no definimos una secuencia infinita que tenga un límite si para cualquier épsilon  ε, siempre puedes encontrar un entero n tal que para todos los enteros m>=n, el emésimo término de la secuencia siempre estuviera a ε del límite.

    Entre los conceptos que gracias al método épsilon se pudieron formalizar se encuentran:
    + El concepto de continuidad , pieza clave para el desarrollo de la ciencia
    + El teorema de Weierstraß que trata sobre máximos y mínimos locales, y
    + Teorema de Bolzano-Weierstrass , otra pieza fundamental en la construcción de los ladrillos fundamentales del cálculo: los números Reales.

    Mucho le debe la humanidad a este gigante Alemán de las matemáticas.

  • Matemáticas para escritores I




    Cuando hablamos y escribimos, lo hacemos de acuerdo a una serie de reglas ortográficas, sintácticas y semánticas establecidas por la sociedad en la cual nos encontremos embebidos. Una definición común de diccionario sería algo como “un conjunto de palabras y reglas para combinarlas, en uso por una comunidad, nación o grupo étnico”. Y eso, para la mayoría de las personas, nos es suficiente.

    ¿Pero qué pasa cuando queremos enseñarle a pensar a una máquina? Para esto, primero tenemos que enseñarle este conjunto de reglas, este lenguaje. Y explicarle a una máquina esto con la definición anterior nos mete en más problemas que soluciones. De tal forma que hay que recurrir a una definición que elimine las ambigüedades de la anterior. Una definición matemática.

    Sin embargo, pensemos en una lengua como el español. La dificultad de representar matemáticamente las innumerables posibilidades que existen, todas las posibles excepciones a las reglas. Una misma palabra puede significar dos cosas completamente opuestas, según el contexto en que se encuentre. Las posibilidades que hay de que cada hablante pueda decir una frase que nunca antes ha sido dicha y aun así sea entendida por cualquier otro hablante de esta lengua. Este fenómeno pasa en los lenguajes de programación, en menor medida, pero no es posible prever todas las posibles combinaciones de una sentencia programable.

    Entonces, queremos enseñarle a una máquina (que tiene una capacidad finita) una serie de símbolos y reglas que forman, posiblemente, un conjunto infinito. Parece difícil. Lo es. Gigantes de la matemática y el cómputo lo han hecho posible. Entre ellos, el gran Turing, Von Neumann y un personaje aun vivo, Chomsky.

    De tal forma, ¿cómo formalizamos matemáticamente la ortografía, o mejor dicho, la gramática? Necesitamos definir los bloques de construcción básicos, es decir, las letras o símbolos de nuestra lengua.

    Definición 1. Símbolo
    Un símbolo es una entidad abstracta indivisible. Por ejemplo, la a, la b; el 1 o el 2. Es claro que estos símbolos dependen de la lengua de que estemos hablando. No son los mismos símbolos entre el español y el chino mandarín.
    Alguien podría argumentar que es un sinrazón tratar de definir esto. Pero es tan necesario y complicado como definir el bloque básico de la geometría plana: el punto.
    Una vez que tenemos los símbolos definidos, los podemos agrupar en un conjunto que todos conocemos como alfabeto.

    Definición 2. Alfabeto
    Un alfabeto es un conjunto FINITO de símbolos. Fácil, pero es importante notar que no podemos definir conjuntos infinitos, pues, de nueva cuenta, no podríamos enseñárselo a una máquina.
    Una vez que tenemos nuestro alfabeto, podemos empezar a jugar con él. Podemos empezar a mezclar los símbolos, tratar distintos arreglos y combinaciones. A este “juego” se le conoce como el proceso de construir cadenas.

    Definición 3. Cadena
    Una cadena, en el contexto que nos ocupa, es una sucesión de símbolos, pegados uno a continuación del otro. Estas cadenas las conocemos coloquialmente como palabras y frases.
    Ya con esto, tenemos suficiente para poder aventurarnos a construir gramáticas. Pero, siempre es bueno contar con una serie de herramientas para poder trabajar más a gusto.

    Definición 4. Longitud de una cadena
    La longitud de una cadena w está dada por el número de símbolos de un alfabeto V presentes en la cadena, y se denomina como |w| (dos barras verticales).

    En lenguaje matemático decimos que:



    Eso lo leemos como que la “longitud de w es igual a k sí y solo sí, w es igual a la cadena formada por los símbolos a1a2…ak, donde cada "a" en la cadena pertenece al alfabeto V”. Sencillo no?

    Existe una cadena truculenta: la cadena vacía cuya longitud es igual a cero. Esta cadena se denota regularmente por la letra griega épsilon ε o la letra griega lambda λ. Entonces, por definición , | λ|=0

    Algunos ejemplos:

    1.- Sea V un alfabeto donde V={a, b, c}. Si "w" es una cadena y "w"=aabcba, entonces |w|=6

    2.- Sea S={e,f,g,h} y x = eeeg. Entonces |w|=4

    Entonces, ahora sí, podemos definir una regla, basada en cosas finitas, para definir conjuntos infinitos. Por ejemplo, podría definir el conjunto de todas las posibles cadenas finitas sobre un alfabeto. Las cadenas son finitas, pero el conjunto de todas ellas es infinito. ¿Es claro el porqué?

    Para crear un lenguaje (que no hemos definido) necesitamos operar con estas cadenas; dotarlas de una serie de reglas. Y ya con los lenguajes, podemos construir gramáticas. Y con esto, podemos construir al idioma español y, con suerte, enseñárselo a una máquina para que “piense en español”.

    Pero eso será en otra entrega.

    Nota. Este 2012 se está celebrando precisamente el centenario del natalicio del padre de muchas muchas cosas que nos acompañan todos los días: Alan Turing.


    Imagen tomada de aquí
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