• Matemáticos reconocidos poco conocidos

    Karl Weierstraß
    (1815 - 1897)

    Maestro de Cantor, Runge,  Schwarz  y de toda una generación de matemáticos alemanes, Weierstrass es el responsable de uno de los métodos más efectivos en Cálculo: el método épsilon (nombrado así pues su notación utiliza la letra griega ε). Gracias a este método se pudieron probar varios teoremas fundamentales para el fundamento de la matemática infinitesimal lo que a la postre permitió varios de los desarrollos tecnológicos de la actualidad.

    Nacido en Ostenfelde, Westphalia (ahora parte de Alemania) , en 1828, al establecerse su familia en Paderborn, ingresó al Gimnasio Católico (institución equivalente a la educación media superior) y paso mucho de su tiempo leyendo el Journal of Pure and Applied Mathematics,  que era la revista matemática líder en Europa.  

    Mientras era profesor en el Instituto Industrial de Berlín, Weierstrass desarrollo una de las más grandes ideas matemáticas hasta el momento.  En su “Introducción al Análisis” druante los años 1859-1860, dio al mundo una rigurosa metodología para que los matemáticos trabajaran con la noción de secuencias infinitas o series que alcanzaban un límite. 

    Hasta ese momento, mucho del desarrollo del cálculo Newtoniano se basaba en ideas, nociones que se sabían verdad pero no se habían demostrado rigurosamente. El concepto de “límite infinito” aplicado a variables fijas, como en la expresión “n tiende a infinito” no se sabía realmente su significado formal.  El método épsilon resolvió esto.

    Weierstrass razonó: En lugar de que el límite estuviera definido para n como el proceso de alcanzar el infinito, por qué no definimos una secuencia infinita que tenga un límite si para cualquier épsilon  ε, siempre puedes encontrar un entero n tal que para todos los enteros m>=n, el emésimo término de la secuencia siempre estuviera a ε del límite.

    Entre los conceptos que gracias al método épsilon se pudieron formalizar se encuentran:
    + El concepto de continuidad , pieza clave para el desarrollo de la ciencia
    + El teorema de Weierstraß que trata sobre máximos y mínimos locales, y
    + Teorema de Bolzano-Weierstrass , otra pieza fundamental en la construcción de los ladrillos fundamentales del cálculo: los números Reales.

    Mucho le debe la humanidad a este gigante Alemán de las matemáticas.

  • El 4-Vector de Momento-Energía


    Una vez, a comienzos de los estudios de mi carrera, durante una clase de la materia de tronco común llamada "Dinámica" el maestro, un ingeniero mecánico, tomó una pausa en el tema ("conservación del momento lineal y angular") y le preguntó a los miembros de la clase: "¿Quienes de ustedes están estudiando Ingeniería Mecánica?".

    La mitad de los estudiantes levantaron la mano.

    - ¿Y cuántos de ustedes estudian IM porque querían saber cómo se diseñaban y cómo funcionaban los automóviles?

    Un gran porcentaje de ese subgrupo volvió a levantar la mano.

    - Ok. Es que lo mismo me pasó a mí. Mi interés por la ingeniería mecánica vino de mi pasión por los autos. Sigamos con la clase.

    Aunque yo en lo personal no tengo una pasión por los autos, no puedo negar que son objetos dignos de admiración o bien, en mi caso, de estudio.

    Sin entrar en el detalle de ciertos sistemas especializados (e.g. los electrico-electrónicos, o los detalles de la manufactura de sus materiales) un auto es algo básicamente mecánico: Muchos de sus sistemas más importantes son mecanismos formados por piezas que actúan en forma conjunta y cuyo funcionamiento teórico puede analizarse mediante esa primerísima rama de la Física: la Mecánica Clásica de Newton.

    En el fondo, sobre todo en la etapa de diseño, el análisis del comportamiento de estos mecanismos puede predecirse con la ayuda herramientas analíticas derivadas de las leyes de la Mecánica Newtoniana, que, si queremos ser reduccionistas, podemos ver como tres simples leyes:

    1. Un cuerpo mantiene su estado de movimiento (en reposo o movimiento en línea recta con velocidad constante) a menos que una fuerza externa actúe sobre él.

    2. La fuerza neta sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleración.

    3. A toda fuerza de acción corresponde una de reacción en sentido opuesto.


    Usando bien esas leyes - y con mucho esfuerzo - podemos diseñar buenos mecanismos, que integrados propiamente, darán lugar a un buen auto.


    Ahora bien, al leer las tres leyes de Newton desapasionadamente, y al compararlas con otras obras sublimes del género humano, antes y después, por un momento parece incomprensible que estas cosas que parecen simples obviedades, pudieran tener tanta importancia.

    Y sin embargo… ¡¡El progreso de la ciencia y la tecnología, las Revoluciones Industriales y Tecnológicas, no hubieran podido desarrollarse como lo han hecho desde la Revolución Científica (del cual Newton es el principal exponente) sin por lo menos dejar bien sentado CÓMO SE MUEVEN LAS COSAS!!

    Las leyes de Newton arrasaron con toda una multitud de ideas ingenuas o estúpidas sobre como se mueven los objetos, y además, sentaron una base firme sobre la cual pudo desarrollarse la ciencia y la técnica.


    Pero aun siendo tan trascendentes e importantes, las leyes básicas de la Mecánica Newtoniana solo tienen validez a una escala de la experiencia humana corriente.

    Cuando tratamos con objetos a una escala muy pequeña (e.g. electrones que giran alrededor de átomos) debemos recurrir a la Mecánica Cuántica. Y cuando queremos estudiar el comportamiento de objetos a altas velocidades, o de masas inmensas, debemos recurrir a la Mecánica Relativista.

    Es importante entender, que no es el caso de que la Naturaleza se comporte de tres maneras distintas, pues la Realidad es solo una. Estas distintas mecánicas solo distinguen grupos de formulas que son mas "convenientes" respecto a la escala a la que estemos trabajando.

    De hecho, tanto la mecánica cuántica como la relativista tienen sus "principios de correspondencia" en la cual sus formulas se pueden simplificar a medida que se trabaja mas a escala humana, y las reducen a los resultados de la Mecánica Newtoniana.

    Mecánica Cuántica -> Objetos Grandes -> Mecánica Newtoniana.

    Mecánica Relativista -> Velocidad baja -> Mecánica Newtoniana

    En particular, tanto la mecánica newtoniana como la relativista tienen sus expresiones para calcular la energía cinética y el momento de una partícula en movimiento.

    Sin embargo existe una diferencia importante. Mientras que la mecánica newtoniana tiene dos expresiones separadas, con unidades diferentes, para calcular la energía y el momento de una partícula en movimiento, la mecánica relativista integra en un solo objeto geométrico a la masa, el momento y la energía de una partícula en movimiento, con una estructura consistente: El 4-vector de momento energía.

    Esta unificación sólo es posible trabajando en un espacio cuadrimensional, en el cual la geometría es no Euclidiana. Por ejemplo, en la conocida como geometría hiperbólica, un triangulo rectángulo puede aumentar en forma infinita cada uno de sus catetos, y sin embargo, la hipotenusa permanecerá en una magnitud constante.

    Cualquier partícula existente, tiene asociado un cuatrivector. Cuando la partícula esta en reposo, su cuatrivector es simple: su magnitud es igual a la masa en reposo de la partícula y su cuatrivector apunta "hacia el futuro".

    Cuando la partícula se mueve REALMENTE rápido, su cuatrivector se inclina en la dirección de su movimiento, teniendo entonces un componente de momento, y aunque la magnitud de su hipotenusa sigue siendo la masa en reposo, ahora tiene también una componente de "energía cinética relativista" que se conjuga con el componente de momento para formar un triangulo, una figura geométrica, en el espacio cuadrimensional, con geometría hiperbólica.




    ¿Pero todo esto, para qué sirve?

    La famosa ecuación de Einstein, E=mc2 se deriva simplemente de la magnitud del vector de un objeto en reposo, el caso mas simple del 4-vector.

    Lo verdaderamente sofisticado, es cuando se considera un conjunto de partículas que colisionan a altas velocidades: La suma vectorial de los 4-vectores que intervienen en una colisión, es igual a la magnitud de la suma vectorial de los cuatrivectores de los resultados de la colisión.

    Este es el axioma inicial y final de toda la física nuclear.

    Aunque ciertamente la física de partículas es una materia bastante compleja, el teorema anterior es de una necesidad tan imperiosa de la naturaleza, que desde el punto de vista matemático, reduce a la Física Nuclear a la simple resolución de problemas geométricos.

    Por ejemplo, cuando los físicos dicen que "falta una partícula", que "los experimentos dicen que existe una partícula todavía no descubierta", en la mayoría de las veces se refieren a que sus instrumentos no han detectado todavía un producto dado, producido por una colisión, que con ciertas características masa y velocidad, complete una cierta figura geométrica determinada por el experimento, y basada en la ley de conservación del 4-vector.

    En realidad, el 4-vector, aunque es un instrumento mucho más sofisticado que las leyes de Newton sobre el momento, se antoja también como demasiado simple cuando se pone en perspectiva su tremendo poder explicativo sobre los más extraños fenómenos de la Naturaleza.

    También es un monumento a la capacidad de la mente humana para penetrar aspectos sumamente profundos de la Realidad.

    Así como la mecánica Newtoniana, enmarcada en la Revolución Científica produjo un siglo después el comienzo de la Revolución Industrial, cosas como la mecánica quántica y la relativista, son ladrillos indispensables en los cimientos de la actual revolución científica y tecnológica.

    Sobre ellos, así como de otros logros de la Ciencia, se edificara el futuro de la Humanidad para los próximos siglos.

    Las naciones que invierten en la comprensión de los fenómenos fundamentales de la Realidad, tienen una preponderancia casi asegurada para el futuro.








    Referencias:

    1. http://en.wikipedia.org/wiki/Four-momentum
    Comments 3 Comments
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      Felicidades Sirius. Se ve que esas lecturas te han servido de mucho en la comprensión del tema.

      Es difícil explicar esta teoría de tal forma que se puedan digerir por un público no especializado, y precisamente creo que en algunos párrafos lograste esto.

      Por supuesto que el tema de para platicar mucho más. Me gustaría centrarme en la parte geométrica en algún comentario posterior.

      Una muy breve aclaración. En este párrafo

      Esta unificación sólo es posible trabajando en un espacio cuadrimensional, en el cual la geometría es no Euclidiana.
      No es necesariamente cierto esto. Podemos estar en un espacio 4-dimensional, y tener una geometría Euclidiana. Viéndolo como una sucesión de productos cruz de R. Luego seguimos...

      saludos y felicidades de nuevo.
    1. Lenon's Avatar
      Lenon -
      Sólo para saludarte, Sirius, necesitaría más tiempo para poder rumiar tu articulo y hacer un comentario que no desentone demasiado.
    1. SPARTAN's Avatar
      SPARTAN -
      Buen articulo.

      Solo un detalle:

      Cuando tratamos con objetos a una escala muy pequeña (e.g. electrones que giran alrededor de átomos) debemos recurrir a la Mecánica Cuántica.
      Nadie sabe como se mueven los electrones alrededor de los nucleos y de hecho es imposible saber por la incertidumbre de Heisenberg. Lo que hay son electron clouds...regiones donde es muy probable encontrar al electron.
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