• Matemáticos reconocidos poco conocidos

    Karl Weierstraß
    (1815 - 1897)

    Maestro de Cantor, Runge,  Schwarz  y de toda una generación de matemáticos alemanes, Weierstrass es el responsable de uno de los métodos más efectivos en Cálculo: el método épsilon (nombrado así pues su notación utiliza la letra griega ε). Gracias a este método se pudieron probar varios teoremas fundamentales para el fundamento de la matemática infinitesimal lo que a la postre permitió varios de los desarrollos tecnológicos de la actualidad.

    Nacido en Ostenfelde, Westphalia (ahora parte de Alemania) , en 1828, al establecerse su familia en Paderborn, ingresó al Gimnasio Católico (institución equivalente a la educación media superior) y paso mucho de su tiempo leyendo el Journal of Pure and Applied Mathematics,  que era la revista matemática líder en Europa.  

    Mientras era profesor en el Instituto Industrial de Berlín, Weierstrass desarrollo una de las más grandes ideas matemáticas hasta el momento.  En su “Introducción al Análisis” druante los años 1859-1860, dio al mundo una rigurosa metodología para que los matemáticos trabajaran con la noción de secuencias infinitas o series que alcanzaban un límite. 

    Hasta ese momento, mucho del desarrollo del cálculo Newtoniano se basaba en ideas, nociones que se sabían verdad pero no se habían demostrado rigurosamente. El concepto de “límite infinito” aplicado a variables fijas, como en la expresión “n tiende a infinito” no se sabía realmente su significado formal.  El método épsilon resolvió esto.

    Weierstrass razonó: En lugar de que el límite estuviera definido para n como el proceso de alcanzar el infinito, por qué no definimos una secuencia infinita que tenga un límite si para cualquier épsilon  ε, siempre puedes encontrar un entero n tal que para todos los enteros m>=n, el emésimo término de la secuencia siempre estuviera a ε del límite.

    Entre los conceptos que gracias al método épsilon se pudieron formalizar se encuentran:
    + El concepto de continuidad , pieza clave para el desarrollo de la ciencia
    + El teorema de Weierstraß que trata sobre máximos y mínimos locales, y
    + Teorema de Bolzano-Weierstrass , otra pieza fundamental en la construcción de los ladrillos fundamentales del cálculo: los números Reales.

    Mucho le debe la humanidad a este gigante Alemán de las matemáticas.

  • Todo cabe en un jarrito, sabiéndolo acomodar

    Cuando acompañaba a mi padre en algunos de sus viajes, solía contarme historias para “templar carácter” - según él. Y no, no eran historias de terror o de heroísmo, eran historias matemáticas. Aunque siendo él químico, nunca cuadraban del todo al final. De entre todas ellas, hay una que siempre recuerdo, y supongo que es en parte responsable de mi vida actual: El hotel de Hilbert.


    Esta historia posiblemente es una de las más conocidas fuera del círculo matemático-físico. Ha sido contada de n-mil formas, pero siempre con el mismo personaje de fondo: el concepto de infinito. Su autor, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, David Hilbert (1862-1693), alemán, es conocido por muchos resultados importantes, así como por sus famosos “problemas” (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_problems). Acuñó la frase, refiriéndose a las ecuaciones de campo de Einstein: “la física es demasiado importante para dejársela a los físicos”. Mi querido Gödel terminó con sus sueños unificadores, etc. Pero no nos desviemos más.

    El hotel de Hilbert es una historia que inventó para explicar algunas de las ideas sobre el infinito de otro grande entre los grandes, el ruso Georg Cantor (así, sin la e).

    De manera muy rápida, me parece que el concepto de infinito no necesita mayor explicación a nivel intuitivo, ¿o me equivoco?

    El lema del Hotel de Hilbert (a partir de este momento, el HH) es “Siempre estamos llenos y siempre hay vacantes”. Supongo que eso dirán todos los hoteles por mercadotecnia, pero en el caso del HH, esa frase es literal.

    El HH no tiene 1, 2, 100, 1000, 100000 habitaciones. Tiene un número infinito de habitaciones. Cada vez que llega un nuevo huésped, el gerente en turno mueve al huésped del cuarto 1 al 2, al del 2 al 3, y así sucesivamente. Eso deja el cuarto 1 libre para el recién llegado, y acomoda a todos los demás, lo cual es siempre posible, ya que como mencionamos, el HH tiene infinito número de cuartos.

    Supongamos ahora que no llega un huésped, sino 1000 huéspedes. El gerente realiza el mismo truco. Sólo que ahora al huésped del cuarto 1, lo mando al 1001, al del 2 al 2002 y así todos los demás. Quedan así libres las habitaciones del la 1 a la 1000. Listas para los 1000 nuevos.

    Pero, un lector curioso se preguntará, ¿qué pasa si llega un número infinito de huéspedes? No problemo, dice el gerente. Tan sólo mueve al huésped de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6, al de la 4 a la 8, etc. ¿Qué habitaciones quedan libres? Pues la 1, la 3, la 5, la 7, etc. Todas las habitaciones con un número impar. Y resulta que, el conjunto de los impares, es un conjunto infinito, por lo que todos los recién llegados tienen su lugarcito.

    Cierto día, cuando el gerente pensaba que tenía todo bajo control, llegó una persona preguntando si tenían habitaciones libres. El gerente, confiado, contestó: “Por supuesto”.
    - Pero somos muchos, replicó el potencial huésped. Mire, soy el guía del grupo, y venimos en varios autobuses.
    -¿Cuántos autobuses son? – preguntó el gerente.
    -Infinito.
    -¿Y cuántas personas vienen en cada autobús?
    -Infinito.
    Sin saber muy bien qué decir, el gerente comenzó a hacer cuentas: un número infinito de autobuses, por un número infinito de personas, me da… ¿infinito x infinito?, ¿y cuánto es eso? Seguro más que infinito, pensó.

    Antes de que pudiera negarse, el guía le recordó el lema del HH: “…siempre hay vacantes”.

    Muy bien, replicó. Déjeme hacer cuentas, y fue a su oficina a pensar la situación.

    -Mmmm. Si hago el mismo truco de dejar libres las habitaciones nones –pensó el gerente-, ¿tengo suficientes? Para acomodar un número infinito sí. Pero para acomodar un número infinito de infinitos, se me hace que no. Y también está el problema de cómo empezar. Si comienzo a acomodar a los del autobús 1, nunca llegaré a los del autobús 2, pues hay un número infinito de personas en el 1.

    Pero nuestro gerente era por demás ingenioso. Y después de un tiempo salió con una gran sonrisa de su oficina diciéndole al guía: ¿cómo pensamos liquidar la cuenta el día de hoy? Y todos los pasajeros tuvieron su cuarto en el HH.

    Para entender la estrategia ideada por el gerente veamos la Figura 1.1


    Figura 1.1. Los autobuses están numerados de manera ascendente a partir del 1. Cada pasajero en cada autobús, a su vez, están numerados de igual de forma.

    El gerente se dio cuenta que si juntaba a todos los pasajeros de todos los autobuses eran un número infinito otra vez. Igual al primero que había acomodado en las habitaciones nones. Así que decidió vaciar las habitaciones nones una vez más y todo el truco era cómo ir acomodando a las personas de cada autobús.
    Siguiendo las flechas rojas de la Figura 1.1 sabemos qué camino siguió. Acomodó:

    Al pasajero 1 del autobús 1 en la habitación 1.
    Al pasajero 2 del autobús 1, en la habitación 3.
    Al pasajero 1 del autobús 2, en la habitación 5.
    Al pasajero 1 del autobús 3, en la habitación 7.
    Al pasajero 2 del autobús 2, en la habitación 9.
    Al pasajero 3 del autobús 1, en la habitación 11.

    Y así, sucesivamente, siguiendo el “zigzag” de las flechas. Eventualmente, espero sea claro, la persona P, del autobús A, donde P y A son el número entero que ustedes quieran, después de un número finito de pasos, obtuvo su cuarto.

    Y ésa es la historia del HH.

    En el fondo, Hilbert quería explicar varios de los conceptos para comparar conjuntos de Cantor. En este caso, el conjunto habitaciones contra el conjunto huéspedes. Si se dan cuenta, tanto uno como otro los representamos con los números 1, 2, 3,… Estos números, los conocemos como los números naturales N.

    Entonces, lo que vimos aquí es que si a dos conjuntos infinitos, los puedo representar utilizando a los naturales, al juntarlos (unirlos es la palabra correcta) obtengo un infinito igual, no uno más grande.

    Estos infinitos, que puedo representar con los naturales, reciben en matemáticas el nombre de infinitos numerables.

    Por supuesto que varias cuestiones teóricas quedan en el aire. Por supuesto que el infinito NO es un número en sí mismo. NO existe un cuarto con el símbolo en la puerta. El infinito es un concepto que nos representa tendencias, nos ayuda a vislumbrar qué pasa en los extremos de varios fenómenos. Y sirve para que los matemáticos tengamos de qué hablar en sociedad.

    Epílogo:
    El hotel de Hilbert eventualmente cerró por no poder cumplir con su lema. Un día llegó un conjunto de personas, cuyo número era igual al número de elementos de otro famoso conjunto: el de los números Reales. Y simplemente no hubo habitación para todos.
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