• Matemáticos reconocidos poco conocidos

    Karl Weierstraß
    (1815 - 1897)

    Maestro de Cantor, Runge,  Schwarz  y de toda una generación de matemáticos alemanes, Weierstrass es el responsable de uno de los métodos más efectivos en Cálculo: el método épsilon (nombrado así pues su notación utiliza la letra griega ε). Gracias a este método se pudieron probar varios teoremas fundamentales para el fundamento de la matemática infinitesimal lo que a la postre permitió varios de los desarrollos tecnológicos de la actualidad.

    Nacido en Ostenfelde, Westphalia (ahora parte de Alemania) , en 1828, al establecerse su familia en Paderborn, ingresó al Gimnasio Católico (institución equivalente a la educación media superior) y paso mucho de su tiempo leyendo el Journal of Pure and Applied Mathematics,  que era la revista matemática líder en Europa.  

    Mientras era profesor en el Instituto Industrial de Berlín, Weierstrass desarrollo una de las más grandes ideas matemáticas hasta el momento.  En su “Introducción al Análisis” druante los años 1859-1860, dio al mundo una rigurosa metodología para que los matemáticos trabajaran con la noción de secuencias infinitas o series que alcanzaban un límite. 

    Hasta ese momento, mucho del desarrollo del cálculo Newtoniano se basaba en ideas, nociones que se sabían verdad pero no se habían demostrado rigurosamente. El concepto de “límite infinito” aplicado a variables fijas, como en la expresión “n tiende a infinito” no se sabía realmente su significado formal.  El método épsilon resolvió esto.

    Weierstrass razonó: En lugar de que el límite estuviera definido para n como el proceso de alcanzar el infinito, por qué no definimos una secuencia infinita que tenga un límite si para cualquier épsilon  ε, siempre puedes encontrar un entero n tal que para todos los enteros m>=n, el emésimo término de la secuencia siempre estuviera a ε del límite.

    Entre los conceptos que gracias al método épsilon se pudieron formalizar se encuentran:
    + El concepto de continuidad , pieza clave para el desarrollo de la ciencia
    + El teorema de Weierstraß que trata sobre máximos y mínimos locales, y
    + Teorema de Bolzano-Weierstrass , otra pieza fundamental en la construcción de los ladrillos fundamentales del cálculo: los números Reales.

    Mucho le debe la humanidad a este gigante Alemán de las matemáticas.

  • Todo cabe en un jarrito, sabiéndolo acomodar

    Cuando acompañaba a mi padre en algunos de sus viajes, solía contarme historias para “templar carácter” - según él. Y no, no eran historias de terror o de heroísmo, eran historias matemáticas. Aunque siendo él químico, nunca cuadraban del todo al final. De entre todas ellas, hay una que siempre recuerdo, y supongo que es en parte responsable de mi vida actual: El hotel de Hilbert.


    Esta historia posiblemente es una de las más conocidas fuera del círculo matemático-físico. Ha sido contada de n-mil formas, pero siempre con el mismo personaje de fondo: el concepto de infinito. Su autor, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, David Hilbert (1862-1693), alemán, es conocido por muchos resultados importantes, así como por sus famosos “problemas” (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_problems). Acuñó la frase, refiriéndose a las ecuaciones de campo de Einstein: “la física es demasiado importante para dejársela a los físicos”. Mi querido Gödel terminó con sus sueños unificadores, etc. Pero no nos desviemos más.

    El hotel de Hilbert es una historia que inventó para explicar algunas de las ideas sobre el infinito de otro grande entre los grandes, el ruso Georg Cantor (así, sin la e).

    De manera muy rápida, me parece que el concepto de infinito no necesita mayor explicación a nivel intuitivo, ¿o me equivoco?

    El lema del Hotel de Hilbert (a partir de este momento, el HH) es “Siempre estamos llenos y siempre hay vacantes”. Supongo que eso dirán todos los hoteles por mercadotecnia, pero en el caso del HH, esa frase es literal.

    El HH no tiene 1, 2, 100, 1000, 100000 habitaciones. Tiene un número infinito de habitaciones. Cada vez que llega un nuevo huésped, el gerente en turno mueve al huésped del cuarto 1 al 2, al del 2 al 3, y así sucesivamente. Eso deja el cuarto 1 libre para el recién llegado, y acomoda a todos los demás, lo cual es siempre posible, ya que como mencionamos, el HH tiene infinito número de cuartos.

    Supongamos ahora que no llega un huésped, sino 1000 huéspedes. El gerente realiza el mismo truco. Sólo que ahora al huésped del cuarto 1, lo mando al 1001, al del 2 al 2002 y así todos los demás. Quedan así libres las habitaciones del la 1 a la 1000. Listas para los 1000 nuevos.

    Pero, un lector curioso se preguntará, ¿qué pasa si llega un número infinito de huéspedes? No problemo, dice el gerente. Tan sólo mueve al huésped de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6, al de la 4 a la 8, etc. ¿Qué habitaciones quedan libres? Pues la 1, la 3, la 5, la 7, etc. Todas las habitaciones con un número impar. Y resulta que, el conjunto de los impares, es un conjunto infinito, por lo que todos los recién llegados tienen su lugarcito.

    Cierto día, cuando el gerente pensaba que tenía todo bajo control, llegó una persona preguntando si tenían habitaciones libres. El gerente, confiado, contestó: “Por supuesto”.
    - Pero somos muchos, replicó el potencial huésped. Mire, soy el guía del grupo, y venimos en varios autobuses.
    -¿Cuántos autobuses son? – preguntó el gerente.
    -Infinito.
    -¿Y cuántas personas vienen en cada autobús?
    -Infinito.
    Sin saber muy bien qué decir, el gerente comenzó a hacer cuentas: un número infinito de autobuses, por un número infinito de personas, me da… ¿infinito x infinito?, ¿y cuánto es eso? Seguro más que infinito, pensó.

    Antes de que pudiera negarse, el guía le recordó el lema del HH: “…siempre hay vacantes”.

    Muy bien, replicó. Déjeme hacer cuentas, y fue a su oficina a pensar la situación.

    -Mmmm. Si hago el mismo truco de dejar libres las habitaciones nones –pensó el gerente-, ¿tengo suficientes? Para acomodar un número infinito sí. Pero para acomodar un número infinito de infinitos, se me hace que no. Y también está el problema de cómo empezar. Si comienzo a acomodar a los del autobús 1, nunca llegaré a los del autobús 2, pues hay un número infinito de personas en el 1.

    Pero nuestro gerente era por demás ingenioso. Y después de un tiempo salió con una gran sonrisa de su oficina diciéndole al guía: ¿cómo pensamos liquidar la cuenta el día de hoy? Y todos los pasajeros tuvieron su cuarto en el HH.

    Para entender la estrategia ideada por el gerente veamos la Figura 1.1


    Figura 1.1. Los autobuses están numerados de manera ascendente a partir del 1. Cada pasajero en cada autobús, a su vez, están numerados de igual de forma.

    El gerente se dio cuenta que si juntaba a todos los pasajeros de todos los autobuses eran un número infinito otra vez. Igual al primero que había acomodado en las habitaciones nones. Así que decidió vaciar las habitaciones nones una vez más y todo el truco era cómo ir acomodando a las personas de cada autobús.
    Siguiendo las flechas rojas de la Figura 1.1 sabemos qué camino siguió. Acomodó:

    Al pasajero 1 del autobús 1 en la habitación 1.
    Al pasajero 2 del autobús 1, en la habitación 3.
    Al pasajero 1 del autobús 2, en la habitación 5.
    Al pasajero 1 del autobús 3, en la habitación 7.
    Al pasajero 2 del autobús 2, en la habitación 9.
    Al pasajero 3 del autobús 1, en la habitación 11.

    Y así, sucesivamente, siguiendo el “zigzag” de las flechas. Eventualmente, espero sea claro, la persona P, del autobús A, donde P y A son el número entero que ustedes quieran, después de un número finito de pasos, obtuvo su cuarto.

    Y ésa es la historia del HH.

    En el fondo, Hilbert quería explicar varios de los conceptos para comparar conjuntos de Cantor. En este caso, el conjunto habitaciones contra el conjunto huéspedes. Si se dan cuenta, tanto uno como otro los representamos con los números 1, 2, 3,… Estos números, los conocemos como los números naturales N.

    Entonces, lo que vimos aquí es que si a dos conjuntos infinitos, los puedo representar utilizando a los naturales, al juntarlos (unirlos es la palabra correcta) obtengo un infinito igual, no uno más grande.

    Estos infinitos, que puedo representar con los naturales, reciben en matemáticas el nombre de infinitos numerables.

    Por supuesto que varias cuestiones teóricas quedan en el aire. Por supuesto que el infinito NO es un número en sí mismo. NO existe un cuarto con el símbolo en la puerta. El infinito es un concepto que nos representa tendencias, nos ayuda a vislumbrar qué pasa en los extremos de varios fenómenos. Y sirve para que los matemáticos tengamos de qué hablar en sociedad.

    Epílogo:
    El hotel de Hilbert eventualmente cerró por no poder cumplir con su lema. Un día llegó un conjunto de personas, cuyo número era igual al número de elementos de otro famoso conjunto: el de los números Reales. Y simplemente no hubo habitación para todos.
    Comments 20 Comments
    1. Sirius's Avatar
      Sirius -
      Felicidades @Orkcloud... se ve que estás metido actualmente en topología.

      En efecto, sea n() una función que nos de la cardinalidad...

      n(N) = n(aN + bN + cN +.... )
      donde {a, b, c,.. } es un conjunto de enteros.

      No recuerdo bien, pero creo que existen al menos dos tipos de infinitos... el infinito numerable con magnitud n(N), y el infinito que corresponde al "número de numeros reales" del segmento de recta (0, 1).

      También existe otro tipo de infinito, dado por el conjunto potencia de naturales 2**N.

      Creo que ese es el infinito más grande que puede haber.... pero no recuerdo si era también igual al de n( (0, 1) ).

      Aunque sospecho... que este es el primer artículo de un número de entregas en donde vas a exponer los diferentes tipos de infinitos.

      Saludos.
    1. Sirius's Avatar
      Sirius -
      Con respecto a los pasajeros del autobus, se me ocurre tomar también un truco que vi por ahí en un libro de Teoría de los Números...

      Tomemos arbitrariamente dos números primos, digamos 2 y 3.

      Entonces, si "n" es el número del autobus y "m" el número del pasajero en el autobús, entonces podemos tomar la función f(n,m) que asigna un cuarto a ese pasajero:

      f: [(2)^n]*[(3)^m] = número de habitación

      Que es una función N x N --> N .

      Como 2 y 3 son primos, es evidente que una habitación no puede ser asignada más de una vez.

      Y como la imagen está perfectamente determinada domo un subconjunto de N, hace que el número de habitaciones no puedan pasar de n(N).

      Saludos amigo.
    1. aereo's Avatar
      aereo -
      Tengo la idea de abrir un hotel para ponerle el símbolo de infinito a una de las habitaciones.
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      Quote Originally Posted by Sirius View Post
      Felicidades @Orkcloud... se ve que estás metido actualmente en topología.

      En efecto, sea n() una función que nos de la cardinalidad...

      n(N) = n(aN + bN + cN +.... )
      donde {a, b, c,.. } es un conjunto de enteros.

      No recuerdo bien, pero creo que existen al menos dos tipos de infinitos... el infinito numerable con magnitud n(N), y el infinito que corresponde al "número de numeros reales" del segmento de recta (0, 1).

      También existe otro tipo de infinito, dado por el conjunto potencia de naturales 2**N.

      Creo que ese es el infinito más grande que puede haber.... pero no recuerdo si era también igual al de n( (0, 1) ).

      Aunque sospecho... que este es el primer artículo de un número de entregas en donde vas a exponer los diferentes tipos de infinitos.

      Saludos.
      por ahí en la olimpiada de mate platicamos de esto alguna vez Sirius, donde te platicaba de aleph-0 y demás. Por ahí lo voy a buscar.

      Efectivamente, hay de infinitos a infinitos. Pensaríamos en los infinitos numerables como infinitos de bastante inocentes je. Infinitos como el [0,1] son "grandes", pues, el [0,1] tiene la misma cardinalidad de Rn . Y aún así, hay otros más grandes.

      saludos
    1. SPARTAN's Avatar
      SPARTAN -
      Yo la primera vez que vi una demostracion de que los numeros reales no eran numerables, me quede tumbado en la cama como por media hora pensando que algo estaba mal porque intuitivamente todo indica que si son numerables (al ser los numeros los puntos de una recta unos detras de otros).

      En fin, buen articulo Orkcloud.
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      Quote Originally Posted by Sirius View Post
      Con respecto a los pasajeros del autobus, se me ocurre tomar también un truco que vi por ahí en un libro de Teoría de los Números...
      por ser numerable el conjunto, existe toda una familia, infinita, de funciones que hacen el truco. Esa es una de las maravillas de esto.

      No lo menciono explícitamente el escrito, pero ese algoritmo de zigzag es cortesía de Gauss. Y es muy fuerte, con ese mismo argumento puedes demostrar que los reales no son numerables por ejemplo.

      saludos sirius.
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      Quote Originally Posted by SPARTAN View Post
      ... (al ser los numeros los puntos de una recta unos detras de otros).
      creo que esto tiene que ver algo con eso que estamos platicando en el foro sobre la ense;anza de las matemáticas. Esa forma de representar a los números si no se hace con cuidado puede acarrear esa confusión que mencionas. Todo va bien hasta que llegas a los reales, en donde podemos decir dados x y y, si x=y, x<y o x>y. Pero de ninguna manera podemos decir si "y le sigue a x". No existe ese concepto en los reales de poder decir el siguiente. Que es la idea que nos da la recta numérica.

      saludos
    1. Lenon's Avatar
      Lenon -
      Joer, Orkcloud, qué buen artículo.

      Te traigo una cita de Kant: " ... para concebir el mundo, que llena todo el espacio, como un todo, la sucesiva síntesis de las partes de un mundo infinito tendrían que plantearse como completas; es decir, un tiempo infinito tendría que considerarse como transcurrido, durante la enumeración de todas las cosas que coexisten".


      Otro autor que he leído se pregunta: ¿Existiría el mundo si no hubiese una inteligencia capaz de pensar en su existencia?.

      Como ves, lLos números infinitos entran de lleno en el campo de la filosofía.

      Personalmente definiría los números infinitos como aquellos que van del 0 al 0. Así la acotación sería posible.

      Saludos.
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      Esa cita de Kant es muy estimada por los matemáticos. Pues en pocas palabras dice mucho de como estudiamos los conjuntos infinitos. Hegel en su concepto de religión también ataca esto en relación a dios (dios para ser se finitiza ...un infinito que tiene fuera de sí algo finito se finitiza al instante. Puede ser que este mezclando libros pero esa es la idea.

      Gracias por tus comentarios Lenon. Y respecto a tu definición, a ver que te parece esta pregunta:


      Qué es esto?

      _______________________________________________________

      Una línea o un círculo?

      saludos.
    1. Lenon's Avatar
      Lenon -
      Quote Originally Posted by orkcloud View Post
      Esa cita de Kant es muy estimada por los matemáticos. Pues en pocas palabras dice mucho de como estudiamos los conjuntos infinitos. Hegel en su concepto de religión también ataca esto en relación a dios (dios para ser se finitiza ...un infinito que tiene fuera de sí algo finito se finitiza al instante. Puede ser que este mezclando libros pero esa es la idea.

      Gracias por tus comentarios Lenon. Y respecto a tu definición, a ver que te parece esta pregunta:


      Qué es esto?

      _______________________________________________________

      Una línea o un círculo?

      saludos.
      Orkcloud, lo mío no son las matemática, en realidad no existe ninguna matería que pueda denominar mía. No obstante te contestaré guiado por mi intuición.

      Sobre tu pregunta, tengo muy claro que no es una línea. Al menos si la entendemos como una línea recta. Vivimos en un espacio curvo. Cualquier línea obligatoriamente debe de curvarse. Si proyectas esa línea hasta el infinito obstendrás un círculo. Un círculo que nunca acaba de materializarse . De 0 al 0.

      Corríjeme, tú eres el maestro.

      Saludos.
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      yo lo sé mi estimado Lenon. Pero parte del conocimiento matemático necesita una fuerte intuición. La cual por supuesto tienes.

      Y si, tu intuición es correcta. Es un círculo, con radio infinito.

      saludos.
    1. No Registrado's Avatar
      No Registrado -
      Pero imaginese que clase de hotel hace que uno se mueva de habitacion al cada nuevo huesped llegar?

      Bancarrota asegurada.

      3
    1. Raramuri's Avatar
      Raramuri -
      Epílogo:El hotel de Hilbert eventualmente cerró por no poder cumplir con su lema. Un día llegó un conjunto de personas, cuyo número era igual al número de elementos de otro famoso conjunto: el de los números Reales. Y simplemente no hubo habitación para todos.Que pasa si numeras las habitaciones con números reales?
    1. oscaringolilingo's Avatar
      oscaringolilingo -
      ¿Porqué es la cantidad de números naturales mayor a la cantidad de los cuartos del hotel? ¿A caso es porque los números naturales abarcan desde menos infinito hasta infinito y los cuartos de hotel solamente abarcan desde 1 hasta infinito? No entiendo esa parte...
    1. oscaringolilingo's Avatar
      oscaringolilingo -
      Quote Originally Posted by oscaringolilingo View Post
      ¿Porqué es la cantidad de números naturales mayor a la cantidad de los cuartos del hotel? ¿A caso es porque los números naturales abarcan desde menos infinito hasta infinito y los cuartos de hotel solamente abarcan desde 1 hasta infinito? No entiendo esa parte...
      Ups, quise decir reales, no naturales.
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      en realidad el ejemplo de "un número real de huéspedes" es para agregar dramatismo =) . La idea de acomodar personas es que de alguna forma sabemos que a la persona A le sigue la persona B, etc. En los reales, no se "cuál real sigue". Puedo establecer un orden, si me dan dos reales x, y, podemos decir si x
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      Quote Originally Posted by oscaringolilingo View Post
      ¿Porqué es la cantidad de números naturales mayor a la cantidad de los cuartos del hotel? ¿A caso es porque los números naturales abarcan desde menos infinito hasta infinito y los cuartos de hotel solamente abarcan desde 1 hasta infinito? No entiendo esa parte...
      la cuestión aquí es que hablamos con conjuntos infinitos. Existen infinitos más grandes que otros? Si. Pero no en el sentido de número de elementos, sino en términos de contención y subconjuntos.

      Piensa en los naturales. Empiezan en 1, luego el 2, 3, ...., N, N+1, .... En este conjunto NO esta el 1.5, o el -22.
      En el cunjunto de los reales, están también el 1, el 2, 3, ...., N, N+1, .... pero también están el 1.5 y el -22. Tiene elementos que que NO están en los naturales. Los naturales es un subconjunto de los reales. Los dos son conjuntos infinitos, en términos de que siempre podemos encontrar elementos, no tienen un final. Pero los reales Engloban a los naturales. Si pintas dos círculos, uno dentro del otro, el círculo interior serán los naturales. El exterior los reales. En ese sentido los reales son un infinito más grande.

      saludos
    1. oscaringolilingo's Avatar
      oscaringolilingo -
      Pero si un subconjunto que contiene una cantidad infinita de números, el cual pertenece a un conjunto que contiene una cantidad infinita "mayor" de números a la cantidad del subconjunto, contiene una cantidad infinta "menor" a la del conjunto, entonces ¿porqué es posible que una cantidad infinita de huéspedes se alojen en el hotel si se dejan vacanes a solamente los números impares, los cuales representan un subconjunto que, según este principio (o eso creo), debería contener un infinito menor al infinito del conjunto de los cuartos totales?

      ¿O es a caso que la indefinición de la clase de infinidad correspondiente a la cantidad de huéspedes me impide interpretar correctamente esta circunstancia?... o sea, ¿Qué tan "grande" es la cantidad infinita de huéspedes mencionada en el párrafo octavo en relación a la cantidad de cuartos?
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      párrafo 8 "...¿qué pasa si llega un número infinito de huéspedes? ... Tan sólo mueve al huésped de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6, al de la 4 a la 8, etc. ¿Qué habitaciones quedan libres? Pues la 1, la 3, la 5, la 7, etc. Todas las habitaciones con un número impar. Y resulta que, el conjunto de los impares, es un conjunto infinito..."

      por qué caben, si los impares son un subconjunto de los naturales?

      1. Porque los dos son infinitos, lo cual es una condición necesaria pero no suficiente. Si fuera suficiente también cabrían los reales, y

      2. Porque los dos son infinitos numerables. Son infinitos que puedo "contar". Es decir, puedo relacionar cada elemento con un número natural. Al primer huésped que llega, le doy el cuarto 1, al segundo el 3, al tercero el 5 y así sucesivamente. Siempre hay lugar, pues es un conjunto infinito y siempre se que cuarto asignarle.

      Qué pasa con los reales? No es un conjunto numerable. No puedo asignarle un natural a cada uno de sus elementos, pues dado x real, no se que real le sigue. Eso es claro?

      El concepto de conjuntos infinitos va muy ligado a un concepto que supongo conoces, el de cardinalidad. Los reales y los naturales tienen cardinalidades distintas. Los impares y los naturales tienen la misma cardinalidad, de ahí que unos NO quepan y otros si.

      Como corolario, te diría que para entender del todo esto tienes que pensar en dos cosas: 1. Subconjuntos 2. Cardinalidad Hay infinitos más "grandes" que otros en el sentido que los primeros contienen a los segundos y tienen una cardinalidad distinta. saludos.
    1. oscaringolilingo's Avatar
      oscaringolilingo -
      Creo que ya comprendo. ¿Se puede decir que los números naturales tienen una "topología discreta" mientras que los números reales tienen una "topología continua"? De ser así es muy obvio la imposibilidad de definir una continuidad (real) en términos discretos (naturales), porque, pues, la definición misma de una topología continua excluye la de una discreta.

      No sé si mi terminología es correcta, no soy experto en matemáticas, pero creo que ya entendí... en fin, muchas gracias por tu tiempo, orkcloud.
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