• Matemáticos reconocidos poco conocidos

    Karl Weierstraß
    (1815 - 1897)

    Maestro de Cantor, Runge,  Schwarz  y de toda una generación de matemáticos alemanes, Weierstrass es el responsable de uno de los métodos más efectivos en Cálculo: el método épsilon (nombrado así pues su notación utiliza la letra griega ε). Gracias a este método se pudieron probar varios teoremas fundamentales para el fundamento de la matemática infinitesimal lo que a la postre permitió varios de los desarrollos tecnológicos de la actualidad.

    Nacido en Ostenfelde, Westphalia (ahora parte de Alemania) , en 1828, al establecerse su familia en Paderborn, ingresó al Gimnasio Católico (institución equivalente a la educación media superior) y paso mucho de su tiempo leyendo el Journal of Pure and Applied Mathematics,  que era la revista matemática líder en Europa.  

    Mientras era profesor en el Instituto Industrial de Berlín, Weierstrass desarrollo una de las más grandes ideas matemáticas hasta el momento.  En su “Introducción al Análisis” druante los años 1859-1860, dio al mundo una rigurosa metodología para que los matemáticos trabajaran con la noción de secuencias infinitas o series que alcanzaban un límite. 

    Hasta ese momento, mucho del desarrollo del cálculo Newtoniano se basaba en ideas, nociones que se sabían verdad pero no se habían demostrado rigurosamente. El concepto de “límite infinito” aplicado a variables fijas, como en la expresión “n tiende a infinito” no se sabía realmente su significado formal.  El método épsilon resolvió esto.

    Weierstrass razonó: En lugar de que el límite estuviera definido para n como el proceso de alcanzar el infinito, por qué no definimos una secuencia infinita que tenga un límite si para cualquier épsilon  ε, siempre puedes encontrar un entero n tal que para todos los enteros m>=n, el emésimo término de la secuencia siempre estuviera a ε del límite.

    Entre los conceptos que gracias al método épsilon se pudieron formalizar se encuentran:
    + El concepto de continuidad , pieza clave para el desarrollo de la ciencia
    + El teorema de Weierstraß que trata sobre máximos y mínimos locales, y
    + Teorema de Bolzano-Weierstrass , otra pieza fundamental en la construcción de los ladrillos fundamentales del cálculo: los números Reales.

    Mucho le debe la humanidad a este gigante Alemán de las matemáticas.

  • Números que cambiaron nuestras vidas V



    Un dos tres por mí y todos mis compañeros: Pi, e, i


    Hemos llegado al final de esta brevísima serie de escritos donde se presentaron tres de los números más importantes en el mundo. Vimos como cada uno de ellos tiene presencia en nuestra vida diaria, gracias a los matemáticos y a los ingenieros (también a los físicos, pero shsssss). No podemos concebir a nuestra sociedad del s. XXI, con su dinámica actual, sin los descubrimientos de Pi y e, o la invención de i.

    Quiero terminar de manera breve presentándoles un concepto que de ninguna manera se puede (o por lo menos yo no puedo) expresar en términos tan sencillos como los anteriores. Euler, quien como vimos bautizo a e y a i , construyo una igualdad que relaciona a estos tres números, conocida como la igualdad de Euler, la cual tiene la forma



    e^(i pi) = -1


    La cual se lee: e elevado a la pi por i, es igual a -1. Ya platicamos que eso de elevar no es otra cosa más que multiplicar, es decir, a^n es multiplicar n veces a por ella misma. También ya platicamos que i es imaginario, igual a raíz de -1, es decir, queremos multiplicar a e, un número imaginario de veces. Cosa por demás imposible con las definición que hemos platicado de elevar a un potencia.
    No vamos acá a derivar la validez de esta igualdad, basta saber que para que poder hacer tal operación, se necesita utilizar un concepto fundamental en el Cálculo, el teorema de Taylor.
    Si alguien tiene interés en la prueba formal, hay para aventar demostraciones en la red, una en particular la podemos encontrar en http://gaussianos.com/la-identidad-de-euler/

    Me gustaría que se tomaran un momento para ver la igualdad de Euler. Piensen en los tres artículos pasados y la riqueza que en si mismo tiene cada número y los valores numéricos tan poco comunes que toman. Y aun así, al combinarlos, resulta un número por demás inocente, un número entero negativo.


    Parte de la importancia de la igualdad, es que nos ayuda a comprender una de las tantas famosas formulas de Euler, la de análisis complejo
    .

    Dice Euler que

    e^(i x) = cos x + i sen x


    Que se lee: e elevado a i por el numero x que quieran, es igual al coseno de x mas el seno de x multiplicado por el numero i.
    ¿Ven la dificultad de la que hablaba para explicar esto? Para entenderlo a toda cabalidad necesitamos saber algo de las funciones trigonométricas conocidas como seno y coseno, fundamentales también para nuestra vida moderna.

    Euler basado en algunos trabajos de Bernoulli y Cotes (1700s) establece esta formula en el mismo s. XVIII. La formula de Euler tiene diversas aplicaciones en la industria moderna, en la ingeniería y en la química. Se utiliza de manera cotidiana en la materia conocida como análisis complejo, que como vimos en el articulo anterior sirve para cualquier cantidad de cálculos ingenieriles.

    Hay una aplicación mas que no es tan conocida: en el física cuántica, que es la materia que nos ha permitido explicar qué pasa en el mundo a una escala atómica, donde las cosas no se comportan como deberían, según Heisenburg.

    Mucho de lo que esta pasando a ese nivel se esta sistematizando utilizando una formula de hace 300 años. Una fórmula que se basa en tres números escondidos en la naturaleza. Ahora que lo pienso, no es para nada extraño que esto suceda. Si la respuesta a muchas de las preguntas fundamentales de qué es el universo están en la física cuántica, no es de sorprenderse que pi y e , con la ayuda de i, están ahí metidos.


    Espero que estos cinco artículos les hayan dejado algún conocimiento nuevo y la confirmación de que Pi, i y e no están alejado de de nosotros, si no ahí, cada vez que salimos de la casa.
    Comments 5 Comments
    1. aereo's Avatar
      aereo -
      Ah caray, ¿que no éste debería de ser el Cuarto Artículo del tema y no el quinto?

      ¿Oh me perdí de algo?
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      te perdiste el IV

      Números-que-cambiaron-nuestras-vidas-IV

      duh, jeje.
    1. Lenon's Avatar
      Lenon -
      Orkcloud, pienso que tus cinco artículos no deberían perderse bajo el polvo que el tiempo irá depositando sobre los números más antiguos de la revista, sino que con ellos se podría confeccionar un pequeño manual para neófitos en la materia.

      El maestro debe seguir enseñando siempre, incluso cuando calla.

      Un saludo.
    1. orkcloud's Avatar
      orkcloud -
      Gracias por el comentario Lenon. Se pueden hacer muchas cosas, con el tiempo suficiente. Hace ya un rato que quería hacer estos escritos y aproveche la coyuntura de está revista para hacerlo. Ahora que sigue? Una, es que si sacamos el issn pues el citar estos artículos en otras publicaciones vale ya algo.
      Otra, es más por el lado que comentas, publicar un cuadernillo de apuntes. No es tan difícil de hacer eso acá en la UNAM. Es algo que traigo ya en la cabeza. Veremos...

      salu2
    1. aereo's Avatar
      aereo -
      Quote Originally Posted by orkcloud View Post
      Oh, es que lo busqué en Ingenierías, Arquitectura y demás chuladas y no apareció dicho artículo. Gracias por el link.

      Interesante el tema de las matemáticas, aunque yo soy más aficionado a lo que es la Física y sus diversos conceptos.

      Saludos, orkcloud.
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